Die Fragen rund um die vollkommenen oder perfekten Zahlen gehören mit zu den ältesten und bis heute meistbehandelten Problemen der Mathematik überhaupt. Insbesondere die Frage nach der Existenz oder Nichtexistenz von ungeraden perfekten Zahlen ist bis dato ungeklärt, wiewohl immer wieder "Beweise" über ihre Nichtexistenz auftauchen. Als vollkommen oder perfekt bezeichnet man jene natürlichen Zahlen, bei denen die Summe aller Teiler (ohne sie selbst, also die "echte" Teilersumme) genau die Zahl selbst ergibt. Die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist 6 = 1+2+3, gefolgt von 28 = 1+2+4+7+14. In dieser Rubrik stellen wir immer dienstags verblüffende, beeindruckende, informative und witzige Zahlen aus den Bereichen IT, Wissenschaft, Kunst, Wirtschaft, Politik und natürlich der Mathematik vor. mehr anzeigen Schon vor rund 2300 Jahren hatte der griechische Mathematiker Euklid die auch da schon länger vorhandenen Erkenntnisse der Phytagoräer zusammengefasst und die damals bekannten perfekten Zahlen 6, 28, 496 und 8.128 im Buch IX seiner berühmten "Elemente" aufgelistet – übrigens eine Büchersammlung, die nach der Bibel zu den meist vervielfältigten Büchern bis zur Mitte des letzten Jahrhunderts gehört. Und diese vier Zahlen waren dann 1500 Jahre lang das Maß der perfekten Dinge, wie man sie konkateniert als 6284968128 nicht nur im Aufmacherbild, sondern auch in der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) unter A132928 findet – ansonsten gibts dort die einzelnen perfekten Zahlen mit zahlreichen Hinweisen und Links unter der Kennung A000396 So stellte man sich Euklid von Alexandrien vor. Über ihn weiß man nur wenig. Vielleicht war es auch der Name einer Gruppe, die um das 3. Jh vor Christus alle mathematischen Erkenntnisse jener Zeit in 15 Büchern "Die Elemente" zusammengetragen hat. (Bild: wikipedia/gemeinfrei) Roswitha von Gandersheim Ein bisschen weniger bekannt als Euklids Topseller sind die Werke der Kanonisse (Stiftsdame) Hrotsvit von Gandersheim (lateinisch: Hrorshitha Gandersheimensis), die gemeinhin als Deutschlands erste Dichterin beziehungsweise Dramatikerin betrachtet wird – wiewohl sie wie damals üblich in lateinischer Sprache schrieb. Etwa im Jahre 965 verfasste sie das Drama über "Die Leiden der heiligen Jungfrauen Fides, Spes und Caritas", in dem eine kluge Sapienta über was doziert? ... Ja genau, über die Zahlentheorie und insbesondere über die perfekten Zahlen. Dabei geht sie auch auf deren Nachbarn ein – die verminderten (defizienten) und die vermehrten (abundanten, überladenen) Zahlen. Leider hinderte der interessante Exkurs den belehrten Kaiser Diocletiam (Hadrian) nicht, ihre drei 8- bis 12-jährigen Töchter, deren Alter sie zahlentheoretisch umschrieb, unter vielen Martern töten zu lassen. Die Kanonisse Roswitha von Gandersheim gilt als Deutschlands erste Dichterin. Sie war sehr breitflächig gebildet und kannte sich auch mit Zahlentheorie aus. (Bild: wikipedia/gemeinfrei) Worum gehts bei den "Nachbarn" der perfekten Zahlen? Lassen wir mal Sapienta sprechen: "Verminderte Zahlen sind solche, bei denen die Summer der Teile weniger ist als die Zahl, von denen sie ein Teil sind. So zum Beispiel die Acht hat als Hälfte vier, als Viertel zwei und als Achtel eins, das macht als Summe sieben. Andererseits sind vermehrte Zahlen jene, deren Teilersumme größer ist als die Zahl selbst, zum Beispiel zwölf." In Deutschland waren eine Zeitlang auch die Begriffe "arme Zahlen" für die defizienten und "reiche Zahlen" für die abundanten in Gebrauch. Üblicherweise erweitert man heutzutage die Definition all dieser Zahlen und nimmt die Zahl selbst als Teiler noch hinzu. Dann ist die volle Teilersumme s bei den perfekten genau doppelt so groß wie die Zahl, also s = 2·n. Der Faktor ist kleiner 2 bei den den defizienten und größer 2 bei den abundanten. Und natürlich stellt sich unmittelbar die Frage: Gibt es unter den abundanten auch welche, bei denen der Abundanzfaktor genau 3 oder 4 oder 5 und so weiter beträgt? Das wären dann die Multiperfekten Zahlen – dazu später. Euklid und vor ihm vermutlich die Pythagoräer wussten auch schon, dass man die bekannten perfekte Zahlen recht einfach konstruieren konnte, abhängig davon, ob die Reihensumme 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, ... jeweils prim ist oder nicht. Ist nämlich 1 +2 + ... + 2n–1 = 2n – 1 prim, dann ist (2n – 1) · 2n–1 eine perfekte Zahl. Wie sich leicht beweisen lässt, kann 2n – 1 aber nur prim sein, wenn auch n prim ist, da sonst 2pk – 1 immer teilbar durch 2p – 1 ist. Also wusste man damals: 1+2 = 3 ist prim => 3·2=6 perfekt1+2+4 = 7 ist prim => 7·4=28 perfekt1+2+4+8 = 15 nicht prim => 15·8 = 120 nicht perfekt 1+2+4+8+16 = 31 prim => 31·16 = 496 perfekt 1+2+4+8+16+32 = 63 nicht prim => 63·32 = 2016 nicht perfekt1+2+4+8+16+32+64 = 127 prim => 127·64 = 8128 perfekt Über 27 – 1 = 127 kam man zu Euklids Zeiten, soweit bekannt, offenbar nicht hinaus. So aufwendig wär es gar nicht gewesen, 213 – 1 = 8191 ohne weitere zahlentheoretische Hilfsmittel als prim zu erkennen – man hätte gerade mal 24 recht überschaubare Divisionen benötigt. 1500 Jahre später Für die arabischen Mathematiker im Mittelalter war das ein Kinderspiel. Überliefert ist, dass der Ägypter Ismael Ibn Fallus Anfang des 13. Jahrhunderts nicht nur die nächste, sondern gleich die nächsten drei perfekten Zahlen ermittelt hat, die zu 213 – 1, 217 – 1 und 219 – 1 gehören: 33.550.336, 8.589.869.056 und 137.438.691.328. Unklar ist nur, ob er auch stichhaltige Beweise hierfür vorgelegt hat. Dass 213 – 1 prim ist, hat im Abendlande nachweisbar erst im Jahre 1536 der Freiburger Mathematik-Professor Ulrich Rieger (Hudalricus Regius) belegt. Daneben räumte er auch mit der damals noch verbreiteten Mär auf, alle Zahlen 2n – 1 seien prim, wenn nur n prim ist, denn 211 – 1 = 2047 = 23·89. Rund 20 Jahre später hat sein Tübinger Kollege Johann Scheubel nicht nur Euklids Elemente ins Deutsche übersetzt, sondern dabei auch gleich zwei weitere Mersennesche Primzahlen und damit zwei weitere perfekte Zahlen gefunden: 217 – 1 und 219 – 1. Der Name "Mersenne-Primzahl" für Zahlen der Art 2p – 1 wurde erst rund hundert Jahre später geprägt, nachdem der französische Mönch Marin Mersenne eine Liste bis hin zu 2257 – 1 veröffentlicht hatte. Die war offenbar in Gottvertrauen mehr geraten als gerechnet, enthielt sie doch diverse Fehler. Dennoch heißen die Primzahlen der Form 2p – 1 seitdem so. Ironie des Schicksals: Keine einzige der tatsächlich belegten Mersenne-Primzahlen wird Mersenne zugeschreiben. Die von Mersenne als prim behaupteten 267 – 1 und 2257 – 1 sind keinesfalls prim – um tatsächlich die Teiler zu finden brauchte es aber noch gut 300 Jahre. Zunächst jedoch griff hundert Jahre nach Mersenne einer der größten Mathematiker der Geschichte ins Geschehen ein: Leonhard Euler aus Basel. Dessen äußerst fruchtbare Schaffenszeit war in Berlin an der Preußischen Akademie der Wissenschaften und in Sankt Petersburg, stark gefördert von Katharina der Großen. Zum Lebensende hin erblindete Euler leider immer mehr. Euler bewies, dass nicht nur jede gerade perfekte Zahl die von Euklid beschriebene Darstellung haben muss (was zuvor René Descartes schon vermutet hatte), sondern dass auch die Umkehrung gilt: ist (2p–1)·(2p–1) nicht perfekt, dann ist auch 2p – 1 nicht prim. Weiterhin beschrieb er mithilfe des kleinen Fermatschen Satzes einen recht bequemen Weg, um ohne allzu viel Rechnerei nachzuweisen, dass 217 – 1, 219 – 1 und auch 231 – 1 prim sind. Den Schweizer Leonhard Euler betrachten auch heute noch die Mathematiker als den "Master of us all" – und so lautet auch der Titel des sehr empfehlenswerten Buches von William Dunham. (Bild: wikipedia/gemeinfrei) Nochmals etwa 100 Jahre später entwickelte der Pariser Mathematiklehrer Édouard Lucas ein noch weit effizienteres Verfahren, um die Primalität einer Zahl vom Typ 2p–1 nachzuweisen. Er konnte damit belegen, dass 2127 – 1 prim ist und dass 267 – 1 nicht prim sein kann – ohne allerdings die Teiler zu bestimmen. Das schaffte erst 1903 Frank Nelson Cole: 267 – 1 = 193.707.721 · 761.838.257.287. Das Lucas-Verfahren heißt nach einer leichten späteren Verbesserung im Jahre 1930 durch den kalifornischen Zahlentheoretiker Derrick Lehmer nunmehr Lucas-Lehmer-Test. Seit Anfang der 50er-Jahre haben dann die Computer den Job der Primzahltests übernommen, in der Regel mit dem zwischenzeitlich immer weiter verbesserten Lucas-Lehmer-Test. Zwischen 1952 und 1996 wurden so M13 bis M34 "entdeckt", die letzte davon immerhin schon mit 380.000 Stellen. Es waren zwei Mitarbeiter von Cray Research, die hiermit die Zuverlässigkeit der Cray T94 unter Beweis stellten, die dafür etwa sechs Stunden unter Volllast lief. Volle Rechenkraft 1995 traten dann die Amerikaner Georg Woltman und Scott Kurowski auf den Plan. Woltman hatte nicht nur sein heutzutage sehr bekanntes Prime95-Programm vorgestellt, die beiden gründeten auch GIMPS: The Great Internet Mersenne Prime Search. Dieses ist mit derzeit über 200.000 Teilnehmern eines der ganz großen verteilten Rechenprojekte, und es war in den letzten 25 Jahren ausgesprochen erfolgreich, fand bislang 17 weitere, immer gigantischere Mersenne-Primzahlen. Die bislang größte, 282.589.933 – 1, wurde im März letzten Jahres gefunden, eine Zahl mit fast 25 Millionen Stellen. Insgesamt hat man damit 51 Mersenne-Primzahlen und infolgedessen kennt man bislang 51 perfekte Zahlen (die habe ich hier nicht alle aufgelistet, die darstellbaren ersten 12 findet man schön auf Wikipedia). Aber sie sind alle von dem oben beschriebenen Typ, und insbesondere sind alle gerade. Doch was ist mit den ungeraden? Gibt's die überhaupt? Fast alle, wenn nicht gar alle Zahlentheoretiker dürften sich mit dieser Frage beschäftigt haben. Descartes hat mit Mersenne und Fermat darüber schon 1638 kommuniziert. Natürlich hat sich später auch Euler damit beschäftigt und zunächst als Fingerübung gezeigt, dass eine ungerade perfekte Zahl nicht durch 105 teilbar sein kann. Sie muss zudem das Produkt aus einer ungeraden Potenz einer Primzahl p mit einer Quadratzahl sein, genauer: p(4k+1)·q2 wobei für p gilt p=1 mod 4. Und nach längerem Bemühen prognostizierte Euler 1747 weitsichtig, dass das Auffinden höchst schwierig – "difficillima" – sein würde. Sicherlich hat sich auch das andere große Mathe-Genie Carl Friedrich Gauß irgendwann mit diesem Problem beschäftigt, veröffentlicht findet man dazu allerdings nichts. Und so gibt es von ihm auch kein "da ligget se", also keine daliegende Lösung. Wo sind die Odd Perfect Numbers? Zu OPN, wie es heute in der englischsprachigen Abkürzung (Odd Perfect Number) heißt, erscheinen weiterhin jedes Jahr zig Abhandlungen, ab und an auch ein "Beweis" ihrer Nichtexistenz. Von denen wurde aber keiner bislang als schlüssig anerkannt. So findet man auf arXiv etwa den Proof eines Hochenergiephysikers namens Simon Davis, den außer ihm offenbar noch niemand verstanden hat. Man weiß inzwischen von zahlreichen Bedingungen, die die OPNs erfüllen müssen. Etwa dass jegliche Lösung entweder 1 mod 12 oder 9 mod 36 sein muss und viele derartige Dinge mehr. Und jedes Jahr kommen etliche neue Kriterien hinzu , so zum Beispiel im letzten Jahr, dass sie nicht vom Typ 2n+1 oder nn+1 sein können. Im Laufe der letzten 100 Jahre konnte man das Limit, wie groß eine OPN mindestens sein muss, immer weiter nach oben schieben. Inzwischen weiß man, dass sie, wenn es denn überhaupt eine gibt, schon arg groß sein muss, jedenfalls größer als 101500. Für den Beweis hat einer der aktuell bedeutendsten Mathematiker, der Australier Richard Brent, die Algorithmen entwickelt, so wie für unglaublich viele andere Problemstellungen auch. Brent hat (zusammen mit Cohen) mit seinem Algorithmus im Jahre 1991 gezeigt, dass OPNs größer als 10300 sein müssen. Zwanzig Jahre später haben darauf aufbauend die Franzosen Pascal Ochem und Michael Rao die Grenze auf nämliche 101500 vorgeschoben. Lief ihre Software auf einem großen Supercomputer? Nein! Ein kleiner Phenom II X4 945 reichte aus, der nach 14 Stunden (im Single-Thread-Modus) Vollzug meldete. Nicht berücksichtigt ist dabei allerdings die immense Zeit, die viele Leute brauchten, um all die zahlreichen nötigen, zum Teil sehr länglichen Faktorisierungen von Zahlen der Form pn ± 1 zusammenzutragen: immerhin ein halbes Gigabyte an Daten. Hierzu hat auch das Mersenne-Forum von GIMPS kräftig beigetragen. Der Name des inzwischen emeritierten australischen Mathematik-Professors Richard P. Brent ist mit zahllosen Algorithmen verknüpft. Sein zusammen mit Paul Zimmermann geschriebenes Buch "Modern Computer Arithmetic" gehört zu den wichtigsten und zudem nett zu lesenden Standardwerken der Zunft. (Bild: Australian National University (www.anu.edu,au) ) Das C++-Programm pfn von Ochem/Rao, das die Multiprecision-Bibliothek GMP verwendet, sowie die nötigen, umfangreichen Dateien stehen zum Download zur Verfügung. Das Programm lässt sich problemlos mit neuerem GMP kompilieren, wenn man weiß, dass man -lgmp und -lgmpxx hinter den Programmnamen schreiben sollte. Ich habs mal auf dem Broadwell-Server von c't mit -t 64, also mit 64 Threads angestartet – aber maximal waren nur etwa 15 Threads gleichzeitig am Laufen, und das ging dann schnell runter auf 3 – hier gibts also noch reichlich Potenzial für eine Verbesserung. Nach etwa 3 Stunden befanden sich dann 64 Log-Dateien mit vielen Informationen auf dem Rechner – da müsste man jetzt nur noch wissen, was die aussagen ... Nachgewiesene Mindestgröße von OPNs 1908 A.Turcaninov 2*10^6 1949 H.A. Bernhard 10^10 1944 Hans-Joachim Kanold 1,4*10^14 1947/48 Joseph B. Muskat 10^18 1957 Hans-Joachim Kanold 10^20 1973 Bryant Tuckerman 10^36 1973 Peter Hagis 10^50 1977 Beauregard Stubblefield 10^100 1989 Richard P. Brent, Graeme L. Cohen 10^160 1991 Richard P. Brent, Graeme L.Cohen 10^300 2012 Pascal Ochem, Michael Rao 10^1500 Aber das Programm kann nicht nur die Minimalgröße bestimmen, sondern auch zwei andere bei OPNs beliebte Mindest-Kriterien abchecken: die Mindestanzahl von Primteilern (auch gleiche), die sich zu 101 ergibt und die Mindestgröße der größten Komponente pa, die demnach 1062 beträgt. Es gibt auch eine Arbeit der beiden polnischen Mathematiker Alexander Grytczuk und Merek Wojtowicz aus dem Jahre 1999, die als Mindestgröße 1,9·102250 und mindestens 420 unterschiedliche Primfaktoren beziffert, aber die ist offenbar von der Szene nicht akzeptiert worden. Mindestanzahl von Primfaktoren von OPNs 1982 G.L.Cohen 23 1986 M. Sayers 29 2003 D.E.Ianucci, M.Sorli 37 2004 K.G.Hare 47 2005 K.G.Hare 75 2012 Pascal Ochem, Michael Rao 101 Mindestanzahl unterschiedlicher Primfaktoren von OPNs leicht beweisbar 1,2,3 ca 1838 Benjamin Pierce 4 1888 James Joseph Sylvester 5 1925 I.S.Gradstein 6 1972 Carl Pomerance 7 1979 Joseph Chein 8 1980 Peter Hagis 8 2007 Pace P.Nielson 9 2015 Pace P.Nielson 10 Multiperfekte Zahlen Wie schon erwähnt, kann die Summe der Teiler einer Zahl auch das Drei- oder ein anderes Mehrfache von ihr sein, die ist dann 3-perfekt (auch triperfekt genannt) oder 4- oder eben multiperfekt, abgekürzt MPN. Andere Namen sind multiply-perfect , plusperfect oder k-fach-perfekt. Von den multiperfekten Zahlen glauben viele, dass ihre Anzahl für jeden Abundanzfaktor endlich ist – im Unterschied zu den normalen 2-perfekten, von denen man unendlich viele vermutet. In mathematisch trockene Tücher gehüllt ist aber weder das eine noch das andere. Derzeit kennt man sechs triperfekte Zahlen, und sollte man beweisen können, dass es wirklich keine weiteren gibt, hätte man auch gleich das Problem mit den OPNs erschlagen, denn aus einer ungeraden perfekten Zahl n folgt unmittelbar, das 2n triperfekt sein muss. Und alle sechs bislang bekannten triperfekten Zahlen lassen sich durch vier teilen, aus denen lässt sich also im Umkehrschluss keine OPN ableiten. Die kleinste, schon im Altertum bekannte Triperfekte ist 120. Die anderen fünf: 672, 523.776, 459.818.240, 1.476.304.896, 51.001.180.160 (OEIS A005820) sind alle im interessanten Wechselspiel von Fermat, Descartes und Mersenne so rund um 1640 gefunden worden, bis auf die dritte, für die ein André Jumeau verantwortlich zeichnete. Fermat und Descartes waren auch beim Aufspüren von etlichen der höheren 4-, 5- und 6-perfekten Zahlen aktiv. Heute geht's bis hinauf zu maximal 11-fach. Dort ist aber nur eine bekannt, die hat immerhin 1907 Stellen. Die meisten Treffer hat man bei den 9-perfekten mit 2095 (Stand 2014). Insgesamt kannte man zu dem Zeitpunkt 5263 MPNs mit einem Abundanzfaktor >=3. Die allermeisten (über 2000) hat GIMPS-Schöpfer Georg Woltman beigetragen. In letzter Zeit sind nur noch selten neue hinzugekommen, hier kann man sich also noch austoben. Und daneben gibts in diesem Umfeld noch viele andere lustige Zahlen: fast perfekte, pseudoperfekte, bizarre, harmonische, befreundete und gesellige, super- und hyperperfekte Zahlen und, und, und ... aber das ist ein anderes Thema. (as) Zur Startseite

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